Sayıların Dili
Büyük Teoriler Yaratan Basit Sorular
Königsberg’in Yedi Köprüsü
Timur Karaçay
Başkent
Üniversitesi
Bazı büyük bilimsel teoriler çok basit sorulara aranan yanıtlardan doğmuştur. Bunlardan birisi topoloji bilim dalıdır. Topoloji’nin, değişik bakış açılarından yapılabilecek farklı tanımları vardır. Konumuzla ilgili olan basit bir tanımını şöyle yapabiliriz:
Topoloji, içinde uzaklık ve ölçü
kavramı olmayan geometridir. Bu geometride konumlar ve bağlantılar önem taşır.
Bu yeni geometrinin doğuşuna neden olanlar eski Prusya’daki Königsberg (şimdi Rusya’da Kaliningrad adını almıştır) kentinin meraklı halkıdır. Königsberg’in içinden geçen Pregel ırmağı kent içinde bir ada ile bir yarımada oluşturur, adanın bir yanında iki kol halinde, öteki yanında tek kol halinde devam eder. Irmak üzerinde, şekilde görülen yedi köprü vardır.
Königsberg’in Yedi Köprüsü
Königsbergliler, merak ya da eğlence olsun diye bir oyun oynamaya başladılar. Kentin belirli bir noktasından hareket edip her köprüyü bir ve yalnız bir kez geçerek başlangıç noktasına dönülebilir mi? Kent halkının meraklı insanları, farklı noktalardan hareket ederek yedi köprüyü birer kez geçip başladıkları noktaya dönmeyi denediler. Hiç birisi bu geziyi başaramadı. Kentin ortak merakı haline gelen bu problem o zamanın ünlü matematikçisi Leonhard Euler (1707–1783) ‘in ilgisini çekti. Euler, 1735 yılında, kent akademisine söz konusu gezinin imkânsızlığını kanıtlayan matematiksel ispatını sundu. 1741 yılında bu ispat "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (Konum geometrisiyle ilgili bir problemin çözümü)" adıyla akademinin dergisinde yayınlandı. Makalenin adından anlaşılacağı üzere, Euler, içinde uzaklık ve ölçü kavramı olmayan ama konumlarla (position) ilgilenen yeni bir geometriden sözettiğinin farkındaydı. Bazılarına göre, bu olgu, topolojinin başlangıcıdır.
Euler, köprüleri yürümek yerine, problemi kâğıt ve kalemle çözmeye başladı. Önce şu basit tesbiti yaptı. Problemin özü, sözkonusu geziye başlayacak birinin hangi özel noktada durduğu ile değil, ırmağın hangi kıyısında olduğu veya hangi adada olduğu ile ilgilidir. Ohalde, ırmağın iki yakasını ve adaları birer nokta ile köprüleri ise birer çizgi ile göstermek mümkündür. Kuzey yakayı A, Güney yakayı B, adayı C ve yarımadayı da D noktası ile göstermiş olalım. Böyle düşününce, Königsberg’in köprüleri şu basit graf ile temsil edilebilir. Tabii, bu işin yapılmasıyla, adına graf teorisi denilen yepyeni bir teorinin temelleri atılmış oldu.
Graf teorisinin terimleriyle konuşursak, A, B, C, D noktalarına köşe noktaları, bu noktaları birleştiren çizgilere de yol denir. Bizim problemde, köşe noktaları ırmağın iki yakasını ve adaları gösterir. Yollar ise köprüleri temsil etmektedirler. Bir köşeden çıkan farklı yolların sayısına o köşenin derecesi denir. Buna göre, A, B ve D köşelerinin her birisinin derecesi 3, C köşesinin derecesi ise 5 dir.
Şimdi şu basit akıl yürütmeyi hemen yapabiliriz. Bir köşeden geziye başlayan birisinin aynı köşeye farklı bir yoldan dönebilmesi için bu köşeye dönen farklı bir yolun olması gerekir. Yani bir köşeden her çıkış-dönüş için iki farklı yol gerekir. Bu hesaba göre, bir köşeden iki kez farklı yollardan çıkıp geri dönmek için o köşenin derecesi 4 olmalıdır. Bu işi üç kez yapabilmek için, o köşenin derecesi 6 olmalıdır. Öyleyse, A, B, D köşelerinin herhangi birisinden geziye başlayan kişi sırasıyla çıkış-dönüş-çıkış yapabilir. Ama son çıkışın dönüşünü yapamaz. Benzer şekilde C noktasından geziye çıkan kişi, sırasıyla çıkış-dönüş-çıkış-dönüş-çıkış yapabilir, ama gene son çıkışın dönüşünü yapamaz. Bu demektir ki, bir Königsbergli, gezisine nereden başlarsa başlasın, kentin yedi köprüsünü birer kez geçerek başladığı noktaya geri dönemez.
Şimdi problemi biraz gevşetelim. Başlangıç noktasına dönme koşulunu
kaldıralım. Her köprüyü bir ve yalnız
bir kez geçerek Königsberg kentini dolaşmak mümkün müdür? Bunu yukarıdaki graf ile açıklarsak şöyle
diyebiliriz: Grafikteki
her yolu bir ve yalnız bir kez yürümek mümkün müdür?
Başlangıç noktasına geri dönülmeyeceğine göre, gezinin başlangıç ve bitiş köşeleri ile aradaki köşelerin dereceleri arasında bir fark olmalıdır. Başlangıç köşesi için çıkış, çıkış-dönüş-çıkış, çıkış-dönüş-çıkış-dönüş-çıkış, ... yollarından birisi olabilir. Ohalde, başlangıç köşesinin derecesi tek olmalıdır. Benzer düşünüşle, bitiş köşesi için dönüş, dönüş-çıkış-dönüş, dönüş-çıkış-dönüş-çıkış-dönüş, ... yollarından birisi olabilir. Ohalde, bitiş köşesinin derecesi de tek olmalıdır.
Şimdi de aradaki köşelere bakalım. Gezginin arada uğradığı herbir köşe için, her girişin bir çıkışı olmalıdır. Öyleyse, aradaki köşelerin dereceleri çift olmalıdır.
Bu söylediklerimize göre,
her yolundan yalnız bir kez geçilerek bir grafiğin bütün yollarının
yürünebilmesi (path traversing) için, iki ve yalnızca iki köşesinin tek
dereceli, öteki köşelerin çift dereceli olması gerekir.
Königsberg köprülerinin grafına bakarsak, bu koşulun sağlanmadığını görüyoruz. Bütün köşeleri tek derecelidir. Hangi köşeleri orta yere alırsak alalım, her girişe karşılık bir çıkış yolu olamaz. Dolayısıyla, Königsberglilerin, kentlerini gezme şansları yoktur.
Euler’in çözümü, yalnızca Königsbergliler’in çok istedikleri seyahatin olanaksızlığını ispatlamakla kalmadı. Genel olarak, bir grafta her yoldan bir kez geçerek bütün yolları yürümenin (path traversing) mümkün olabilmesi için iki ve yalnızca iki köşenin derecelerinin tek, ötekilerin çift olması gerektiğini kanıtladı. Özel olarak, gezinin başlangıç ve bitim noktaları aynı ise, bütün köşelerin derecelerinin çift olması gerekir.
Biraz bilgi: 20.yüzyılın başlangıcında, kümeler kuramının ortaya çıkışıyla birlikte, topoloji, çağdaş matematiğin hemen her alanına girmiştir. Bu gün topoloji, matematiğin her dalıyla ilişkilidir. Matematik dışında fizik, biyoloji, enformasyon, finans gibi dallarda da önemli bir araç haline gelmiştir. Öteki dallarla ilişkisi yanında, kendi içinde de genel topoloji, cebirsel topoloji, diferensiyel topoloji,... gibi birbirleriyle çok az ilişkili olan dallara ayrılır. Topolojiyle uğraşanlar, hiç bir ressamın hayal bile edemeyeceği harika soyut yapıları düşünürler. Graf teorisine gelince, bazıları onu topolojinin bir dalı sayar, bazıları bağımsız görmek ister. Pek çok bilim dalında önemli uygulamaları vardır. En önemlilerinden birisi bigisayar bilimleridir. Graf teorisi olmasaydı, bilgisayar algoritmalarının çoğu varolamazdı. Uygulamada çok önem taşıyan arama ve sıralama algoritmaları şimdi oldukları gibi hızlı ve etkin olamazlardı.
Uygulama: Königsberg kentine yeni köprüler ve yeni adalar ekleyerek yol yürüme (path traversing) denemeleri yapınız.