AKILLI VERİ TABANLARI YARATMAYA DOĞRU

Genel amaçlı programlama dilleri ile yaratılan büyük veri tabanları'nın başarıyla kullanıldığı iyi bilinmektedir. Klasik veri tabanları çok büyük olabilir; çok sayıda kullanıcı tarafından paylaşılabilir. Veri tabanı uygun bir kaynak programla kolayca güncelleştirilebilir; veriye kolayca erişilebilir. Günümüzde çok gelişmiş olan ve gene de gelişmesini sürdüren bu sistemde sorgulama (query) yapmak, yani mevcut bilgilere erişmek için, istenen işlevi yapacak kaynak programın yazılması zorunludur. Sorgulama eylemini yapacak kaynak program, ilgili veriye giden en kısa yolu izleyebilir; dolayısıyla sorgulama hızlıdır. Ancak sorgulamayı yapacak kaynak programın öngörmediği hiçbir bilgiyi bu sistemden elde etme olanağı yoktur. Sistemin kendi kendisine, mevcut bilgilere dayalı usavurmalar (logical reasoning) yaparak yeni bilgiler üretme ve mantıksal sonuçlara varma yeteneği yoktur. Sistemden doğru bilgiyi almak için, kaynak program belirli önlemler koyabilir ve bu önlemlerin etkinliği ölçüsünde doğru verilere erişilir.

Mantıksal programlama ya da yapay us (artificial intelligence) (AI) adlarıyla bilinen sistemlerde ise, sisteme önceden girilen veriler (buna Dış Veri Tabanı diyelim) arasında var olan mantıksal ilişkiler, ayrı bir program yazımına gerek kalmadan, sistem tarafından keşfedilip kullanıcıya sunulmaktadır. Başka bir deyişle, yapay bir us yaratılmaktadır. Bu us, temel veri tabanındaki bilgilere dayalı usavurmalar yardımıyla yeni bilgiler üretebilmekte ve bir insan zekasına benzer olarak, mantıksal sonuçlar çıkarabilmektedir. Veri tabanına yanlış bilgi girişi sistem tarafından önlenir. Sorgulama baştan sona ya da sondan başa kadar bütün bilgiler taranarak yapıldığı için, bilgilerin doğruluğu ve tamlığı kesindir. Doğal olarak, bu yetenek mantıksal programlama sistemlerinin üstünlüğünü ve önemini artırmaktadır.

Mantıksal programlama sistemlerinin zayıf yanları şunlardır: Akıl yürütme diyeceğimiz süreci başarıp, istenen bilgiye ulaşması, mevcutlara dayalı yeni bilgiler üretmesi ya da usavurma yapabilmesi için, sistemin Dış Veri Tabanını anabelleğe yüklemesi ve ürettiği yeni bilgileri de sürekli olarak anabellekte tutması gerekmektedir. Böyle olması, bir yandan, çok büyük veri tabanları yaratmaya engel olurken, öte yandan da bilgi arama ve usavurma sürecini yavaşlatmaktadır. Bütün bunların yanında, mantıksal programlama sistemleri tek kullanıcılıdır.

Dolayısıyla, günümüzde karşı karşıya olduğumuz en önemli sorunlardan birisi, klasik veri tabanları yönetim sistemleri ile mantıksal programlama sistemlerinin birleştirilip, her iki sistemin iyi niteliklerini taşıyan yeni ve kullanışlı bütünleşik sistemlerin yaratılmasıdır. Böylece, çok sayıda bilgi içeren büyük veri tabanlarından, kaynak programın önceden öngörmediği mantıksal ilişkileri hızla ve kolayca elde etme olanağı doğacaktır. Böyle bir olanağın doğması bilgiye erişim sürecini çok kolaylaştıracak; erişilen bilginin doğruluğunu ve tamlığını kesinleştirecektir.

Konuya girmeden önce, okuru yönlendirmek amacıyla, bu makalenin içeriğini ve bu içeriğin nasıl gruplandırıldığını açıklamakta yarar vardır. Birinci bölümde mantık ve belirsizlik, ikinci bölümde mantıksal programlamanın bir sorgulama dili olarak kullanılması, üçüncü bölümde bir mantıksal programlama ile bir veri tabanının eşlenerek akıllı veri tabanı sistemlerinin nasıl yaratıldığı açıklanmıştır. Dördüncü ve son bölümde ise, akıllı veri tabanlarına örnek olarak alınan datalog'un matematiksel dayanakları ortaya konulmuştur. Okur bildiği bölümleri atlıyarak, dilediği bölümü okuyabilir. Ayrıca prolog'un alfabesinin bilindiğini varsayıyor ve dolayısıyla değişken, sabit, gerçek (fact), önbağ (predicate), hüküm (clause) vb terimleri yeniden tanımlamaya gerek görmüyoruz.

Eski Yunan düşünürü Aristotle (M.Ö.384-322) mantıkla uğraşan ilk kişi olarak bilinir. Syllogistic ya da klasik mantık diye adlandırılan kuramın büyük bir bölümünün yaratıcısıdır. Bugün bile değerini koruyan ve uygulama alanı bulan klasik mantık, bir usavurmalar dizisi sonunda doğru ya da yanlış sonuçlara ulaţma sanatıdır. Bunun tipik bir örneği

biçimindeki bir usavurmalar zinciridir. Klasik mantık, birçok yönden, insan sağduyusunun biçimselleşmişi gibidir. Bu nedenle, konuşulan dile büyük ölçüde bağımlıdır. Öte yandan, hemen her dilde bir sözcüğün farklı anlamlara ya da farklı sözcüklerin eş anlamlara sahip olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla, akıl yürütme sürecinde kullanılan sözcükler farklı anlamlara, farklı sonuçlara yorumlanabilir. Bu tutarsızlık, insanoğlunu mantıkta daha kesin yöntemler aramaya itti ve simgesel mantığın yaratılmasına neden oldu.

Usavurma sürecini konuşulan dilden bağımsız kılarak ona matematiksel bir yapı kazandırmaya çalışan ilk kişi Alman matematikçisi G.W.Leibniz (1646-1717) dir. Yazık ki Leibniz'in yaptığı işin önemi ölümünden iki yüzyıl sonra anlaşılabilmiştir. İngiliz matematikçisi George Boole (1815-1864) konuyu yeniden ele alarak bugünkü iki-değerli mantığın yapısını tamamen matematiksel temellere oturtmuş ve klasik mantıktaki tutarsızlığı yokeden simgesel mantığı yaratmıştır. Buna Boole mantığı, Boole cebiri vb adlar da verilmektedir. Simgesel mantığın üstünlüğü şudur: Akıl yürütmede kullanılan kavramları sözcüklerden, nesnelerden, duyulardan arındırmakta, onları soyut simgelerle temsil etmekte ve o simgeler arasında matematiksel işlemler kullanarak akıl yürütme sürecini kesin sonuca ulaştırmaktadır.

Simgesel mantığın birisi ötekine kenetlenmiş iki ayrı dalı vardır: Önermeler mantığı ve predicate calculus. Birincisi, önermeleri tek tek ele alır ve onların doğru ya da yanlış olduklarını belirler. İkincisi ise, tek tek önermeler yanında, nesneleri birer küme olarak ele alır ve bir altkümeye bağlı önermelerin değerlerini arar. Başka bir deyiţle, predicate calculus, belirli nesnelerden oluşan bir küme üzerinde tanımlı önerme fonksiyonlarının değerleriyle ilgilenir; o fonksiyonların hangi değişkenler için hangi değerleri aldığını bulur. Predicate terimi bir fonksiyon adından başka bir şey değildir.

Mantıksal programlama dilleri esas olarak bu yönteme dayanır: Nesnelerle tek tek uğraşmak yerine, nesneler kümesi üzerinde predicate denilen fonksiyonları tanımlar; onlar arasındaki matematiksel işlemlerle istenen kesin mantıksal sonuçlara ulaşır. Bunun ne kadar önemli olduğunu vurgulamak için şu örneğe bakalım:

Öte yandan, son yıllarda yaratılan EUREKA, DERIVE vb programlar, uygulamada karşılaşılabilecek basit ya da çok karmaşık herhangi bir fonksiyonun türevini, integralini bulur; fonksiyonlarla ve sayılarla istenen bütün matematiksel işlemleri yapabilir; sonuçları istenirse sayısal olarak, istenirse global tanımlı fonksiyon olarak belirliyebilir. Bu programlar, bilgisayar cebiri (computer algebra) adıyla anılan bilim dalının hünerlerini kullanırlar, ama asıl dayanakları simgesel mantıktır.

Simgesel mantığın kesinliği, onun yaygınlaşmasının en önemli nedenidir. Orada bir önerme ya doğru ya da yanlıştır; iki-değerli mantıkta belirsizlik olamaz. Oysa, gerçek yaşamda önermeler biraz doğru, biraz yanlış olabilir. Daha ötesi, gözlemlere dayalı önermeler belli bir olasılık katsayısına bağlıdır. Örneğin, milyonlarca yıl boyunca insanoğlu güneşin hergün doğup battığını gözlemektedir. Öyleyse, yarın da güneşin doğup batacağını kesine çok yakın bir olasılıkla söyleyebiliriz. Ama üç gün üst üste evimizin üstünden bir uçak geçti diye yarın da geçeceğini yüksek bir olasılıkla söyleme olanağı yoktur.

Buradan görüldüğü gibi, ister doğa olaylarıyla, ister soyut usavarmalarla ilgili olsun, önermelerin doğruluğunu ya da yanlışlığını belirli bir olasılıkla ortaya koymak daha doğaldır. Genel olarak bu olguya belirsizlik (uncertainty) denilmektedir. Bu yaklaşım, klasik mantıktan farklı yeni bir mantık yaratmıştır. Son yıllarda hızla gelişen bu bilim dalına fuzzy mantığı denilir. Bu mantıkta doğruluk değerleri gerçekler yerine olasılıklara bağlıdır.

Burada, aklımıza ilk gelecek şey, ikili-mantığa dayalı olarak bilgisayar ile yapılan işlerin daha fazlasıyla fuzzy mantığına dayalı olarak yapılıp yapılamıyacağıdır. Gerçekten, son zamanlarda, akademik çevrelerde, fuzzy kuramına dayalı çok önemli aşamalar geçilmiştir ve gelecekte bu kuramın ürünlerinin yoğun biçimde ortaya çıkması beklenmelidir.

Yapay usun (AI) mükemmel bir tanımını yapmak zordur. Bazılarına göre her programlama dili AI türündedir; çünkü en basit programın bile dayanağı mantıktır. Bazıları ise hiçbir programın AI sınıfına sokulamıyacağını savunur. Bu sonunculara göre, düşünmek yalnızca insanlara özgü bir üstünlüktür. Bu iki uç düşünce arasında, herkesin kendi zevkine uyan bir tanım yapması mümkündür. Bu aşamada bir tanımın dar kalıplarına girmeden, yapay usun ve Akıllı Veri Tabanlarının matematiksel dayanaklarını açıklamak daha yararlı olacaktır.

AI için kesin bir başlangıç tarihi söylemek zordur. Bazılarına göre bu tarih A.M.Turing'in tasarladığı düşünen makinaya kadar uzanır. Ama bugünkü AI nın yaratıcısının John MacCarthy olduğunu söylemek doğru olacaktır. MIT de 1961 yılında LISP'i yaratan odur. AI terimi ilk kez 1961 yılında, gene MIT'de çalışan, Marvin Minsky tarafından yazılan "Steps towards Artificial Intelligence" adlı makalede kullanıldı. 1960 lı yıllar düşünen bilgisayarın yapılabileceği umudunun ve korkusunun yoğun olarak yaşandığı yıllardır. 1964 yılında Joseph Weizenbaum MIT de ELIZA'yı yazdı. ELIZA hastalar üzerinde psikoanaliz yapan bir programdı. 1960 lı yıllar biterken, düşünen bilgisayarın yapılabilmesinin önceleri sanıldığı kadar kolay olmayacağı ortaya çıkıyordu. Çünkü düşünen makinanın ana belleği, yeni bilgilerin üretilmesi evresinde hızla tükeniyordu. Üretilen bilgilerin kayıt ortamına aktarılması ise düşünme evresini kabul edilemeyecek biçimde uzatıyordu. Bu sorun 1970 li yıllarda ortaya çıkan büyük bellekli makinalarla da çözülemedi. Ortaya çıkan zorluğu açıklamak için basit bir örnek verebiliriz: Bubble sort yöntemiyle yapılacak bir sıralama işleminde harcanan zaman, öğe sayısının karesiyle doğru orantılıdır. Yani, 10-öğeli bir array'in yavaş bir makinada sıralanması için 1sn gerekiyorsa, 100-öğeli bir arrayin sıralanması için 100sn gerekecektir. Bu hesapla, büyük bir AI programında, örneğin, 60.000 öğeli bir arrayin sıralanması için bir insan ömrü yetmiyecektir. Tabii bubble sort yerine daha hızlı olan quick sort gibi yöntemlerin kullanılması düşünülebilir. Bu yöntemde n-öğeli bir arrayin sıralanması için geçen zaman n1.2 ile doğru orantılı olduğu için, önceki yönteme göre çok daha etkilidir; ama gerekli zaman sorununu tamamen çözemez.

1970 li yılların sonlarına doğru dil işleyen, bilgi temsil eden ve problem çözen AI programları ortaya çıkmaya başladı. Hastalıkların teşhis edilmesinde kullanılmak üzere Stanford Üniversitesinde geliştirilen MYCIN programı ilk uzman sistem (expert system) olarak kabul edilir. Jeolojik sistemleri konu alan PROSPECTOR ile tasarım konulu XCON programları başarılı ilk uzman sistemlerdir. 1972 yılında Marsilya Üniversitesinde Alain Colmerauer tarafından yaratılan PROLOG dili AI konusunda atılan en önemli adımlardan birisidir. PROLOG bir anlamda LISP'in geliţkin biçimidir. 1980 li yıllara girilirken LISP dili ABD'de akademisyenlerin gözdesi iken, Avrupalı akademisyenler PROLOG'u tercih ediyorlardı. 1981 yılında Japonlar, çok iddialı oldukları beşinci kuşak projesinde prolog dilini temel alacaklarını açıkladılar. Bu açıklama bütün dünyada prolog'a bir avantaj sağladı.

gonca 35 kadın

ekin 6 kadın

sorgucunu kullanırız. Dış Veri Tabanımızda

biçiminde yazabiliriz. Bu tür bir sorgulama Dış Veri Tabanında varolan bilgilere erişim için yeterlidir. Ancak, mantıksal programlama bundan fazlasını yapabilecektir: Başka bir deyişle, Dış Veri Tabanında var olan bağlantılı verilere dayalı olarak yeni veriler üretebilecektir. Örneğin, yukarıdaki iki bağıntıya dayalı olarak aşağıdaki iki bağıntıyı kolayca tanımlıyabiliriz:

Burada, anne ve baba bağıntıları ile ilgili olarak elde edilen yeni veriler bir dış kayıt ortamına yazılmıyor; ana bellekte tutuluyor. Bu verilerden oluşan kümeye İstemli Veri Tabanı diyeceğiz. İstemli Veri Tabanı, kullanıcının tanımladığı yeni bağıntılara göre oluşmaktadır. Dolayısıyla, her kullanıcı, mevcut Dış Veri Tabanına ve onlar arasındaki ilişkileri belirliyen temel bağıntılara dayanarak kendi gereksemelerini karşılıyacak yeni bağıntılar tanımlıyabilir ve onlar yardımıyla bir İstemli Veri Tabanı yaratabilir. Gerçekte, Prolog çeviricisi, yukarıdaki İstemli Veri Tabanının tamamını kendiliğinden yaratmaz; ancak, yapılan sorgulamaya uyan verileri Dış Veri Tabanında arayıp bulmakla yetinir.

kiţi(X,_,kadın)

Yeni bir bağıntı tanımlanırken, o bağıntıyı belirleyen kuralların ya da bağıntıların ya Dış Veri Tabanında varolması ya da daha önce İstemli Veri Tabanında tanımlanmış olması gerekir. Bu yolla, çok karmaşık soruları sorma olanağı da yaratabiliriz. Örneğin, "Kim bir kadının amcasıdır?" sorusuna yanıt bulmak için

kim(X) :- amca(X,Y), kişi(Y,_,kadın).

Son yıllarda mantıksal programlama ile veri tabanlarını birleştirerek etkileşimli ya da bütünleşik yeni sistemler yaratmak için yapılan çalışmalara ilginin büyük ölçüde arttığı gözlenmektedir. Bir sorgulama dili olarak mantıksal programlama dilinin ne kadar etkili olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla iyi eşlenmiş bir mantıksal programlama ile bir veri tabanının oluşturacağı akıllı bir veri tabanının çekiciliği açıktır. Bu sistemlerin yapı ve yöntemlerindeki benzerlik ve farklılıkları burada ayrıntılarıyla incelemeye girmiyeceğiz.

Bu sistemlerin herbirisinde, mantıksal programlamanın işlevlerini yüklenen bir mantıksal programlama makinası; kullanılacak veri tabanındaki predicate'leri tanıyacak bir mantıksal programlama arayüzü; veri tabanı ile aralarındaki iletişimi kuracak bir veritabanı arayüzü; veri tabanına erişimi ve güncellemeyi sağlıyacak bir veritabanı makinası vardır. Kuruluş açısından iki ana yapıya ayrılabilirler:

Statik Eşleme: Veritabanı ile mantıksal programlama arasındaki etkileşim, mantıksal programlamanın dedüksiyonlarından tamamen bağımsızdır. Buna gevţek eţleme de denilir.

Hemen belirtelim ki, literatürde bu terimlerin kullanımlarında kesin bir birlik henüz sağlanmış değildir. Ayrıca, eşleme yöntemi ne olursa olsun, oluşturulan sistemin optimizasyonu için etkili yöntemler geliştirilmektedir. Bu yöndeki çalışmalara örnek olabilmesi için aşağıdaki sistemleri anmakta yarar vardır.

PRO-SQL: Yorktown Heights IBM Araştırma Merkezinde geliştirilmiştir. Prolog ile SQL/DS veritabanı sistemini eşlemektedir. Bu sistemde kullanıcının hem prologu hem de SQL dillerini bilmesi gerekmektedir.

EDUCE: Munich'deki Avrupa Bilgisayar Endüstrisi Araştırma Merkezi tarafından geliştirilmiştir. Prolog ile Ingres veritabanı sistemini eşlemekte ve QUEL dili ile ilişki kurmaktadır.

BERMUDA: Wisconsin Üniversitesinde geliştirilmiş bir prototypedır. Prolog ile Britton-Lee Intelligent Database Machine IDM 500'ü eşlemektedir.

QUINTUS: Quintus Prolog ile Unify Database System arasında bir arayüzdür. Kaliforniya'da Quintus Computer System tarafından geliştirilmiştir.

4.BÜTÜNLEŞİK BİR VERİTABANI SİSTEMİ : DATALOG

a. Hedefler aranırken prolog her seferinde ancak bir yanıt bulur; bütün yanıtları birden sıralamaz.

d. Prolog dili yinelgeli fonksiyon yaratmak ve karmaşık veri yapıları oluşturmak için özel fonksiyon simgelerine sahiptir.

Datalog veri tabanı programı olarak kullanılmak üzere tasarlanmış bir mantıksal programlama dilidir. Procedural değildir. Predicate'lerin, kuralların ve gerçeklerin sırasına karşı duyarsızdır. Özel predicate'ler ve fonksiyon sembolleri kullanmaz. İşlevleri matematiksel küme kuramına dayalıdır; yani sorgulamada hedefleri tek tek değil hepsini birden bir küme olarak sıralar. Teknik bir deyiţle, prolog'un sorgulaması derinlik önceliklidir; datalog ise genişlik öncelikli arama stratejisine sahiptir. Böylece prolog'un yukarıda söylenen dört kusurunu gidermektedir. Datalog'un sözdizimi prolog'unkine benzer. Sorgulama ve engelleme amacıyla prolog'un kullandığı bütün kuralları kullanır.

Bir dış veri tabanı ile bir mantıksal program eşlenerek yeni bir sistem oluşturulduğunda, sistem ilk adımda dış veri tabanındaki bilgilere dayalı olarak yeni veriler üretecektir. İkinci adımda, önce verilen bilgiler ile ilk adımda üretilenlere dayalı olarak yeni veriler ortaya çıkacaktır. Bu süreç istenildiği kadar devam edecektir. Her adımda ortaya çıkan yeni verilerin önceki verilere eklenmesiyle sistemin o anda bildiği bütün veriler kümesi oluşur. Buna, o adımda bilinen tabansal gerçekler diyeceğiz. Çok büyük olması olasılığı olan tabansal gerçekler kümesinde yanlışlar oluşmamalıdır; yani, herhangi bir adımda sistem yanlış bilgi üretmemelidir. Buna sistemin sağlamlığı (doğruluğu, soundness) diyoruz. Öte yandan, kuramsal olarak sistemin üretebileceği her bilgiye erişebilmemiz gerekir. Buna da sistemin tamlığı (completeness) diyoruz. Yaratılan bir sistemin sağlamlığı ve tamlığı matematiksel yöntemlerle kanıtlanmalıdır. Aksi halde, sistem güvenilir değildir; kullanılamaz.

Matematiksel mantıkta bir önermenin doğruluğu iki yöntemle belirlenir: model kuramı ya da kanıt kuramı. Model kuramında bir önermenin doğru olması, bütün değişkenleri için doğru olmasıyla mümkündür; yani bütün mümkün haller için önerme doğru olmalıdır. Kanıt kuramında ise, bir önermenin doğruluğu belitlere (axiom) dayalı olarak usavurmalarla çıkarılır. Biçimsel yönden bu iki yöntem birbirine denktir; yani birisine göre doğru olan önerme ötekine göre de doğrudur. Datalog'un sağlamlığı ve tamlığı hem model kuramı ile hem de kanıt kuramı ile gösterilebilir. Model kuramının kuruluşu daha kolay olmakla birlikte, pratikte, kanıt kuramı daha çok kullanılır. Bu nedenle, burada ikinci yöntemi ele alacağız.

biçiminde tanımlı olsun. Her i=1,2,...,n için Liá=Fi olacak biçimde bir konum yapıldığını varsayalım. Yukarıdaki kuralı kullanarak tabansal gerçeklerden bir adımda L0á gerçeğini türetmiş olacağız. Türetilen L0á gerçeği önceden varolan bir tabansal gerçek olabileceği gibi, ortaya çıkmış yepyeni bir gerçek de olabilir. Bu yolla, varolan gerçeklerden yenilerinin türetilmesine ilkel türetme diyeceğiz. Tabii, herhangi bir kural ile bir tabansal gerçekler kümesi verildiğinde, ilkel türetme eylemini yapan bir İLKEL_TÜRETEN(R,F1,F2,...,Fn) fonksiyonunun kurulabileceğini varsayabiliriz. Bu fonksiyonun çıktısı, verilen argümanlara uygulanabildiğinde 'ilkel türetilebilen bütün gerçekler'; uygulanamadığında ise 'hiç' olsun.

2.Örnek: R datalog kuralı p(X,Z):-p(X,Y),p(Y,Z) olarak verilsin ve tabansal gerçekler {p(a,b)} ve {p(b,c)} olsun. á={X/a,Y/b,Z/c} konumunu ve ilkel türetme yöntemini kullanarak {p(a,c)} gerçeğini türetebiliriz. Öte yandan R2:q(X,Y):-q(Y,X) kuralı ve q(a,a) tabansal gerçeğinden ilkel türetme yöntemiyle yeni bir gerçek türetilemez; ancak q(a,a) gerçeği yeniden ortaya çıkar.

Burada p ve q bağıntıları uygun herhangi birer bağıntı olarak alınabilir. Örneğin, p(x,y) bağıntısı x<y olarak; q(s,t) bağıntısı ise "s ile t kardeştir" diye tanımlanabilir.

S den seçilen her n-sıralı <F1,F2,...,Fn> için DO

yeni := İLKEL_TÜRETEN(R,F1,F2,...,Fn)

3.Örnek: S datalog hükümleri R1:p(Z,Y):-p(X,Y),p(Y,Z) ile R2:p(X,Y):-p(Y,X) biçiminde tanımlanan iki hükümden (clause) oluşsun ve tabansal gerçekleri {p(a,b)}, {p(b,c)}, {p(c,d)}, {p(d,e)} olarak verilsin. Buna TÜRETEN algoritmasını uygulayarak elde edebileceğimiz tabansal gerçekler şunlar olacaktır:

Bunlara türetilen tabansal gerçekler diyeceğiz. Bu kavramı biraz daha biçimsel tanımlamaya gerekseme vardır: Datalog hükümlerinden oluşan bir S kümesi verilsin. Bir G gerçeği S içinde ise ya da ilkel türetme yönteminin sonlu kez uygulanmasıyla ortaya çıkarılabiliyorsa, G 'ye S'den türetilen tabansal bir gerçektir, denilir ve SÃG simgesiyle gösterilir. Bu kavramı tamamen matematiksel biçimde yinelgen (recursive) bir yöntemle tanımlayarak evrensel kesinlik kazandırabiliriz:

Kanıt ağacı, değişik düzeylerde düğümlerden (node) oluşur. Burada düğüm, ağaç kökünün dallanma noktalarına yerleşmiş tabansal gerçeklerdir. Bu gerçekler iki türe ayrılabilir: Bazı düğümler S 'ye ait hükümlerdir; bazıları ise S'den türetilmiş tabansal gerçeklerdir. Kanıt ağacının en derin köklerindeki uç düğümler daima S'ye ait hükümlerdir. Buradaki hükümler başlangıç düzeyindedirler. Bir üst düzeydeki düğümlerde hem S'ye ait olanlar hem de S'den türetilmiş olanlar yer alabilir. Buradaki düğümler birinci basamak düzeyini oluşturur. Gene S'ye ait bazı gerçekler ile bu düzeydeki bazı tabansal gerçeklerden ilkel türetme yöntemiyle çıkabilecek gerçekler bir sonraki düzeye, yani ikinci basamak düzeyine yerleşir... Bu süreç, kanıtlanan gerçeğe (burada {p(a,a)}) ulaşıncaya kadar devam eder. Her düğüm, bulunduğu basamaktan bir sonraki basamaktaki bir ve yalnızca bir düğüme bağlıdır. Bir önceki basamakta ise birden çok ilgili düğüme bağlanabilir. Bir hüküm birden çok düzeyde yer alabilir. Bir kanıt ağacının derinliği düzey sayısının bir eksiğidir. Örneğimizde üç düzey vardır; dolayısıyla {p(a,a)} için kanıt ağacının derinliği 2 dir.

Bir S hükümler kümesi ile F1,F2,...,Fn tabansal gerçekleri verildiğinde, ilkel türetme yöntemiyle yeni gerçekler türetebiliyoruz. Ancak bu süreçte ortaya çıkan hükümlerin sağlamlığını (doğruluğunu) ve tamlığını (varolan bir gerçeğe ulaşılabileceğini) kanıtlamamız gerekir. Aksi halde, ilkel türetme yöntemimiz güvenle kullanılabilir bir yöntem olamıyacaktır.

1.Teorem: S bir datalog hükümler kümesi ve G bir tabansal gerçek olmak üzere SÌG olması için gerekli ve yeterli koşul sÃG olmasıdır.

INPUT: Datalog hükümlerinden oluţan sonlu bir S kümesi.

Artık, gerçekler kümesinin tamamen belirlenebildiğini gösterebiliriz.

Şimdi bir E dış veri tabanı ile bir P datalog programı verildiğinde, bu veri tabanından kuramsal olarak elde edilebilecek bütün gerçekleri ortaya koyabilecek algoritmaya sahibiz: E U P kümesine YARATAN fonksiyonunu uyguladığımızda olası bütün gerçeklerin ortaya çıkacağını yukarıdaki teoremlerden biliyoruz. Bunların arasından, belirli bir amaca yönelik herhangi bir istemli veri tabanı yaratmak için istenen predicate'leri seçmek yetecektir. Matematiksel bir ifadeyle söylersek, istenen veri tabanı I(YARATAN(E U P)) olacaktır. Burada YARATAN algoritması işlemin özüdür; dolayısıyla ona yaratıcı makina (inference engine) adı verilir.

Matematiksel mantıkta yinelgen (recursive) bir kural ile sonuca ulaşmak için sabit nokta teoremleri çok kullanılır. Bu nedenle, yinelge kullanan her programlama dilinin semantiğini tanımlamak için sabit nokta teoremlerini kullanabiliriz. Burada sabit nokta teoremlerinin matematikte iyi bilinen kanıtlarına girmeden, o teoremleri datalog'un semantiğini belirlemekte kullanacağız. Bir L latisinden kendisi içine tanımlı monoton T fonksiyonlarını düşünelim. L latisinin en büyük alt sınırı'nı inf(L) simgesiyle gösterelim. T fonksiyonunun sabit bıraktığı noktalar arasında en küçük olana, T'nin en küçük sabit noktası denilir; bunu da EKSN(T) ile gösterelim. Şimdi bu en küçük sabit noktayı hesaplayan bir algoritma yazabiliriz:

ÇIKTI: EKSN(T), (eğer algoritma sona eriyorsa).

Bu fonksiyonun çıktısı daima T'nin en küçük sabit noktasıdır. Böyle olduğunu aşağıdaki teorem yardımıyla matematiksel olarak kanıtlıyabiliriz:

Şimdi bu teoremi datalog semantiğine uygulayabilmek amacıyla bir yöntem geliştirelim: Datalog hükümlerinden oluşan bir S kümesi düşünelim. S kümesinin bütün tabansal gerçeklerini GERÇEK(S) ile, S'in bütün datalog kurallarını KURAL(S) ile gösterelim. S=KURAL(S) U GERÇEK(S) olacağı açıktır. Herbrand Tabanı (HT) önbağlardan ve sabitlerden oluşturulabilecek bütün pozitif tabansal birim hükümlerin kümesidir. Biribirlerinden bağımsız olarak, ünlü mantıkçılardan J.Herbrand ile T.Skolem, bir logic sistemdeki gerçeklerin daha basit bir küme ile temsil edilebileceğini göstermişlerdir. Bu temsil, bir anlamda, sonlu boyutlu bir uzayda sayılamaz çoklukta olan vektörlerle işlem yapabilmek için seçilen sonlu sayıdaki taban vektörlere benzer. Bu nedenle mantık sistemlerini incelemeyi çok kolaylaştırır. P(HT) simgesi HT kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu aile olsun. Bu aile kümesel kapsama bağıntısına göre bir örgü (lattice) dür. Bu rgüden kendi içine monoton bir TS dönüţümünü, HT'nin her W alt kümesi için

Ţimdi bu sonuca dayanarak, herhangi bir S datalog hükümler kümesinden çıkabilecek bütün gerçekleri; yani cons(S) kümesini en küçük sabit nokta yinelgesiyle belirleyebiliriz:

Bu sonuncu teorem yardımıyla, herhangi bir DVT dış veri tabanı ile bir P datalog programı verildiğinde, P'nin semantiğini belirlemek mümkün olacaktır. Gerçekten, PUDVT datalog hükümlerinden oluşan sonlu bir kümedir ve T(P U DVT) dönüşümü LDVT latisi üzerinde monotondur. Dolayısıyla, E(HT) nin her DVT alt kümesinden çıkacak gerçekler (semantic)